第五章、靈敏度分析 一、  什么是靈敏度分析
我們前面討論的線性規(guī)劃問題，其目標函數(shù)系數(shù)，約束系數(shù)和約束常數(shù)都是確定的常數(shù)，但實際問題中，由于各種因素的影響，這些常數(shù)是有變化的。例如產(chǎn)品的需求量、產(chǎn)品的售價、原材料和能源的價格以及資源 的供應量等的變動，從而引起 和 的值的變化，工藝條件的改變， 的值就發(fā)生變化。
于是，我們面臨這樣的問題：當線性規(guī)劃問題的某些常數(shù)發(fā)生變化時，對已求出的最有解有什么影響？顯然，當線性規(guī)劃問題的一個或幾個常數(shù)發(fā)生變化以后，原來已求得的結(jié)果一般會發(fā)生變化。當然，可以用單純形法從頭計算，以便得到新的解。這樣做很麻煩，而且也沒有必要，因在單純形表迭代中，每次都和基變量的系數(shù)矩陣B有關(guān)，因此，可以把發(fā)生變化的個別系數(shù)，經(jīng)過一定的計算直接填入最終表中，并進行檢查和分析----靈敏度分析。
所謂靈敏度分析: 就是在建立數(shù)學模型和求得最優(yōu)解之后，研究線性規(guī)劃的一些系數(shù)變化時，對最優(yōu)解產(chǎn)生或最優(yōu)基有什么影響？或者這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，最優(yōu)解或最有基不變。有了靈敏度分析就不必要為了應付這些變化而不停的建立新的模型和求解。
用靈敏度分析以下幾種情況
一、目標函數(shù)的系數(shù)發(fā)生了變化，對最優(yōu)解會產(chǎn)生什么影響
二、約束條件右邊的值發(fā)生了變化，對最優(yōu)解會產(chǎn)生什么影響
三、增加了新變量，對最優(yōu)解會產(chǎn)生什么影響
四、用QM軟件如何分析

二、目標函數(shù)中價值系數(shù) 的變化分析 技術(shù)方法：用單純形法分析 用圖解法分析
可以分別就對應的基變量和非基變量來討論。
若是非基變量的系數(shù)

是基變量的系數(shù)









對于兩個變量的線性規(guī)劃問題的靈敏度分析，我們還可以用圖解法進行 例題2 某工廠在計劃期內(nèi)要安排生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需要的設(shè)備臺時和A、B兩種原材料的消耗以及資源的限制情況，如表1-1所示：

問工廠應分別生產(chǎn)多少個Ⅰ產(chǎn)品和Ⅱ產(chǎn)品才能使工廠獲利最大？ 為了解決這個實際問題，我們把它歸結(jié)為數(shù)學問題來研究。 我們就得到了描述該問題的一組數(shù)學表達式：

我們知道生產(chǎn)一個單位的Ⅰ產(chǎn)品可以獲利50元，生產(chǎn)一個單位的Ⅱ產(chǎn)品可以獲利100元，在目前的生產(chǎn)條件下已求得生產(chǎn)Ⅰ產(chǎn)品50單位，生產(chǎn)Ⅱ產(chǎn)品250單位可以獲得最大利潤。假設(shè)兩種產(chǎn)品中的某一產(chǎn)品的單位利潤增加或減少時，我們意識到為了獲取最大利潤就有可能應該增加或減少這一產(chǎn)品的產(chǎn)量，也就是改變最優(yōu)解。但是實際上這一產(chǎn)品利潤在一定范圍內(nèi)變化時整個線性規(guī)劃的最優(yōu)解其實是不會變化的，即仍然生產(chǎn)50單位的Ⅰ產(chǎn)品和250單位的Ⅱ產(chǎn)品而獲利最大。當然其中某一產(chǎn)品利潤變化超出一定范圍的話，最優(yōu)解就會受到影響了。我們的任務就是用簡單的圖解法揭示這一變化的范圍，定出其上限和下限。

從圖1-1中可以看出只要目標函數(shù)的斜率在直線E（設(shè)備約束條件）的斜率與直線F（原料B的約束條件）的斜率之間變化時，頂點B仍然是最優(yōu)解。 如果目標函數(shù)直線逆時針旋轉(zhuǎn)，當目標函數(shù)的斜率等于直線F的斜率時，則可知直線AB上的任一點都是其最優(yōu)解。如果繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，則可知A點為其最優(yōu)解。
如果目標函數(shù)直線順時針方向旋轉(zhuǎn)，當目標函數(shù)的斜率等于直線E的斜率時，則可知直線BC上的任一點都是其最優(yōu)解。如果繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，當目標函數(shù)的斜率在直線E的斜率和直線G的斜率之間，則頂點C為最優(yōu)解。當目標函數(shù)的斜率等于直線G的斜率時，則直線CD上的任一點都是其最優(yōu)解，如果在繼續(xù)順時針旋轉(zhuǎn)，可知頂點D為其最優(yōu)解。



問題： 當目標函數(shù)系數(shù)中的一個改變時，要保持最優(yōu)解不變，如何求出其范圍
三、常數(shù)項（資源數(shù)量） 變化的分析





四、添加新變量的分析 仍然依例1來分析添加新變量的情況
現(xiàn)在又試制成一種新產(chǎn)品E，生產(chǎn)1噸分別消耗原料甲、乙為2和1/2噸，問他每噸的利潤是多少時才能投產(chǎn)？ 在上例中引進新變量 變?yōu)椋?

對于上式B仍是可行基，且有 要使B是上式的最優(yōu)基，只需。

經(jīng)濟上如何解釋

五、 1、如何使用QM軟件進行靈敏度分析。 2、經(jīng)濟意義是什么

六、實際舉例 用QM軟件求解和分析

謝謝