連續(xù)型隨機變量2-3
綜合能力考核表詳細內(nèi)容
連續(xù)型隨機變量2-3
§3 連續(xù)型隨機變量 除了離散型隨機變量之外,還有非離散型的隨機變量,這些隨機變量的取值已不再是有 限個或可列個。在這類非離散型隨機變量中,有一類常見而重要的類型,即所謂連續(xù)型 隨機變量。粗略地說,連續(xù)型隨機變量可以在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點取值。例如某種樹 的高度;測量的誤差;計算機的使用壽命等等都是連續(xù)型隨機變量。對于連續(xù)型隨機變 量,不能一一列出它可能取值,因此不能像對離散型隨機變量那樣用它取各個可能值的 概率來描述它的概率分布,而是要考慮該隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率,我們是用 概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機變量的。 1. 概率密度和連續(xù)型隨機變量定義: 對于隨機變量[pic],如果存在非負可積函數(shù)[pic],使得對于任意實數(shù),[pic] [pic]都有 [pic], 則稱[pic]為連續(xù)型隨機變量;稱[pic]為[pic]的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度. 由定義可知,分布密度[pic]具有如下基本性質(zhì): ?。ǎ保甗pic]; ?。ǎ玻甗pic]. 這兩條性質(zhì)的幾何意義是:概率分布密度曲線不在x軸下方,且該曲線與x軸所圍的圖 形面積為1。性質(zhì)(1)、(2)可以作為判定一個函數(shù)是否可以作為一個連續(xù)型隨機變量 的分布密度的條件。 對于連續(xù)型隨機變量[pic]可以證明,它在某一點[pic]處取值的概率為零,即 對于任意實數(shù)[pic],有[pic]. 即研究[pic]在某一點處取值的概率是沒有什么實際意義的。從而可知,研究[pic]在 某區(qū)間上取值的概率時,該區(qū)間含不含端點,不影響概率值。即 (3).對于任意實數(shù),[pic] [pic]都有 [pic] 1. 設[pic]是連續(xù)型隨機變量,已知[pic]的概率密度為 [pic] 其中[pic]為正常數(shù). 試 確定常數(shù)[pic]. 解: 由概率密度函數(shù)性質(zhì),知 [pic] [pic] 二.幾個常用的一維連續(xù)型隨機變量: 1. 均勻分布:如果連續(xù)型隨機變量[pic]的概率密度為 [pic] [pic] 記作[pic]. [pic] 因此上述定義中的概率密度可以改為 [pic] 其中[pic]為一常數(shù),利用概率密度的性質(zhì),易得 [pic] 2. 指數(shù)分布: [pic] 則稱[pic]服從指數(shù)分布(參數(shù)為[pic]),記為 [pic] 若[pic]服從參數(shù)為[pic]的指數(shù)分布,則對任意[pic], 有 [pic] 如燈泡、電子元件的壽命,電話的通話時間等都被認為是 服從指數(shù)分布的。 3. 正態(tài)分布: 1. 定義:如果連續(xù)型隨機變量[pic]的概率密度為 [pic] [pic] 可以證明: [pic] [pic] =1 2. 標準正態(tài)分布:當參數(shù)[pic]=0 而[pic] 時,即[pic], 稱[pic]服從標準正態(tài)分布,記 標準正態(tài)分布的概率密度為[pic],則 [pic] 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布。一方面,正態(tài)分布是實踐中最常見的一 種分布,例如測量的誤差,人的身高、體重,農(nóng)作物的收獲量,大批學生的考試成 績等等,都近似服從正態(tài)分布。一般說來,若某一數(shù)量指標受到很多相互獨立的隨 機因素的影響,而每個因素所起的作用都很微小,則這個數(shù)量指標近似服從正態(tài)分 布。另一方面,正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì),許多分布在一定條件下可以用正態(tài) 分布來近似,因此在概率數(shù)理統(tǒng)計的理論和實際應用中,正態(tài)分布都有著十分重要 的地位。 3. 性質(zhì): (a) 在直角坐標系內(nèi)[pic]的圖形呈鐘形; (b) 在[pic]處得最大值 (c) 關(guān)于直線[pic]對稱;在[pic]處有拐點; (d) 如果[pic]固定,改變[pic]的值,則[pic]的圖形沿x軸平行移動,而不改變其形狀,可 見[pic]形狀完全由[pic]決定,而位置完全由[pic]來決定.當[pic]時,曲線以x軸為漸 近線; 當[pic]大時,曲線平緩, 當[pic]小時,曲線陡峭. [pic] ?。ǎ矗藴收龖B(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率: 標準正態(tài)分布密度[pic],記 [pic],當[pic], 其函數(shù)值可查本書的附表1, [pic] [pic][pic], 其中 (?。pic]; [pic] [pic]. (ⅱ)[pic]:可直接查本書的附表1,得 ◆[pic] (ⅲ)[pic]: ◆[pic]; ◆[pic]; ◆[pic] ◆[pic] [pic]; ◆[pic]. 【例2】設[pic],則 [pic] [pic] [pic] [pic] (5)一般正態(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率: 只要搞清楚一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系,即可利用標準正態(tài)分布求得 一般正態(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率.具體地, 設 [pic],則 [pic] 令 [pic] 則有 [pic], 轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布,查本書的附表1,就可得這概率. 特別地, [pic]; [pic]; [pic], 由上面三式可見,服從正態(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]之值基本上落在 區(qū)間[pic]內(nèi), 而幾乎不在區(qū)間[pic]外取值. 【例3】[pic], 求[pic] 解: [pic] [pic] 三.例題: 【例4】 對以下各題隨機變量所對應的概率分布,試確定常數(shù)a. [pic] [pic] [pic] [pic] 【例5】 [pic] [pic] 【例6】設隨機變量X的概率密度為 [pic] [pic] 【例設連續(xù)型隨機變量X的分布面數(shù)為 [pic] [pic] 【例7】 則 [pic], [pic] 四.習題: P.68 ―――?。?,2,4,5,15
連續(xù)型隨機變量2-3
§3 連續(xù)型隨機變量 除了離散型隨機變量之外,還有非離散型的隨機變量,這些隨機變量的取值已不再是有 限個或可列個。在這類非離散型隨機變量中,有一類常見而重要的類型,即所謂連續(xù)型 隨機變量。粗略地說,連續(xù)型隨機變量可以在某特定區(qū)間內(nèi)任何一點取值。例如某種樹 的高度;測量的誤差;計算機的使用壽命等等都是連續(xù)型隨機變量。對于連續(xù)型隨機變 量,不能一一列出它可能取值,因此不能像對離散型隨機變量那樣用它取各個可能值的 概率來描述它的概率分布,而是要考慮該隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率,我們是用 概率密度函數(shù)來研究連續(xù)型隨機變量的。 1. 概率密度和連續(xù)型隨機變量定義: 對于隨機變量[pic],如果存在非負可積函數(shù)[pic],使得對于任意實數(shù),[pic] [pic]都有 [pic], 則稱[pic]為連續(xù)型隨機變量;稱[pic]為[pic]的概率密度函數(shù),簡稱概率密度或密度. 由定義可知,分布密度[pic]具有如下基本性質(zhì): ?。ǎ保甗pic]; ?。ǎ玻甗pic]. 這兩條性質(zhì)的幾何意義是:概率分布密度曲線不在x軸下方,且該曲線與x軸所圍的圖 形面積為1。性質(zhì)(1)、(2)可以作為判定一個函數(shù)是否可以作為一個連續(xù)型隨機變量 的分布密度的條件。 對于連續(xù)型隨機變量[pic]可以證明,它在某一點[pic]處取值的概率為零,即 對于任意實數(shù)[pic],有[pic]. 即研究[pic]在某一點處取值的概率是沒有什么實際意義的。從而可知,研究[pic]在 某區(qū)間上取值的概率時,該區(qū)間含不含端點,不影響概率值。即 (3).對于任意實數(shù),[pic] [pic]都有 [pic] 1. 設[pic]是連續(xù)型隨機變量,已知[pic]的概率密度為 [pic] 其中[pic]為正常數(shù). 試 確定常數(shù)[pic]. 解: 由概率密度函數(shù)性質(zhì),知 [pic] [pic] 二.幾個常用的一維連續(xù)型隨機變量: 1. 均勻分布:如果連續(xù)型隨機變量[pic]的概率密度為 [pic] [pic] 記作[pic]. [pic] 因此上述定義中的概率密度可以改為 [pic] 其中[pic]為一常數(shù),利用概率密度的性質(zhì),易得 [pic] 2. 指數(shù)分布: [pic] 則稱[pic]服從指數(shù)分布(參數(shù)為[pic]),記為 [pic] 若[pic]服從參數(shù)為[pic]的指數(shù)分布,則對任意[pic], 有 [pic] 如燈泡、電子元件的壽命,電話的通話時間等都被認為是 服從指數(shù)分布的。 3. 正態(tài)分布: 1. 定義:如果連續(xù)型隨機變量[pic]的概率密度為 [pic] [pic] 可以證明: [pic] [pic] =1 2. 標準正態(tài)分布:當參數(shù)[pic]=0 而[pic] 時,即[pic], 稱[pic]服從標準正態(tài)分布,記 標準正態(tài)分布的概率密度為[pic],則 [pic] 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計中最重要的一種分布。一方面,正態(tài)分布是實踐中最常見的一 種分布,例如測量的誤差,人的身高、體重,農(nóng)作物的收獲量,大批學生的考試成 績等等,都近似服從正態(tài)分布。一般說來,若某一數(shù)量指標受到很多相互獨立的隨 機因素的影響,而每個因素所起的作用都很微小,則這個數(shù)量指標近似服從正態(tài)分 布。另一方面,正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì),許多分布在一定條件下可以用正態(tài) 分布來近似,因此在概率數(shù)理統(tǒng)計的理論和實際應用中,正態(tài)分布都有著十分重要 的地位。 3. 性質(zhì): (a) 在直角坐標系內(nèi)[pic]的圖形呈鐘形; (b) 在[pic]處得最大值 (c) 關(guān)于直線[pic]對稱;在[pic]處有拐點; (d) 如果[pic]固定,改變[pic]的值,則[pic]的圖形沿x軸平行移動,而不改變其形狀,可 見[pic]形狀完全由[pic]決定,而位置完全由[pic]來決定.當[pic]時,曲線以x軸為漸 近線; 當[pic]大時,曲線平緩, 當[pic]小時,曲線陡峭. [pic] ?。ǎ矗藴收龖B(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率: 標準正態(tài)分布密度[pic],記 [pic],當[pic], 其函數(shù)值可查本書的附表1, [pic] [pic][pic], 其中 (?。pic]; [pic] [pic]. (ⅱ)[pic]:可直接查本書的附表1,得 ◆[pic] (ⅲ)[pic]: ◆[pic]; ◆[pic]; ◆[pic] ◆[pic] [pic]; ◆[pic]. 【例2】設[pic],則 [pic] [pic] [pic] [pic] (5)一般正態(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率: 只要搞清楚一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系,即可利用標準正態(tài)分布求得 一般正態(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]落在區(qū)間[pic]中的概率.具體地, 設 [pic],則 [pic] 令 [pic] 則有 [pic], 轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布,查本書的附表1,就可得這概率. 特別地, [pic]; [pic]; [pic], 由上面三式可見,服從正態(tài)分布[pic]的隨機變量[pic]之值基本上落在 區(qū)間[pic]內(nèi), 而幾乎不在區(qū)間[pic]外取值. 【例3】[pic], 求[pic] 解: [pic] [pic] 三.例題: 【例4】 對以下各題隨機變量所對應的概率分布,試確定常數(shù)a. [pic] [pic] [pic] [pic] 【例5】 [pic] [pic] 【例6】設隨機變量X的概率密度為 [pic] [pic] 【例設連續(xù)型隨機變量X的分布面數(shù)為 [pic] [pic] 【例7】 則 [pic], [pic] 四.習題: P.68 ―――?。?,2,4,5,15
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