第六章 樣本與抽樣分布
樣本與抽樣分布 §6.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 一．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象 例：有一批燈泡，要從使用壽命這個(gè)數(shù)量指標(biāo)來(lái)看其質(zhì)量,設(shè)壽命用X表示。 (1)若規(guī)定壽命低于1000小時(shí)的產(chǎn)品為次品。此問(wèn)題是求P(X(1000)=F(10000),求F([pic] )? (2)從平均壽命、使用時(shí)數(shù)長(zhǎng)短差異來(lái)看其質(zhì)量，即求E([pic])?、D([pic])?。 要解決二個(gè)問(wèn)題 1．試驗(yàn)設(shè)計(jì)抽樣方法。 2．?dāng)?shù)據(jù)處理或統(tǒng)計(jì)推斷。 方法具有“從局部推斷總體”的特點(diǎn)。 二.總體（母體）和個(gè)體 1.所研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體，把組成總體的每一個(gè)對(duì)象成員（基本單元）稱(chēng)為個(gè)體。 說(shuō)明： 1) 對(duì)總體我們關(guān)心的是研究對(duì)象的某一項(xiàng)或某幾項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)(或?qū)傩灾笜?biāo))以及他們?cè)谡w 中的分布。所以總體是個(gè)體的數(shù)量指標(biāo)的全體。 (2)為研究方便將總體與一個(gè)R.V X對(duì)應(yīng)(等同)。 a. 總體中不同的數(shù)量指標(biāo)的全體，即是R.V.X的全部取值。 b. R.V X的分布即是總體的分布情況。 例：一批產(chǎn)品是100個(gè)燈泡，經(jīng)測(cè)試其壽命是： 1000小時(shí) 1100小時(shí) 1200小時(shí) 20個(gè) 30個(gè) 50個(gè) X 1000 1100 1200 P 20/100 30/100 50/100 (設(shè)X表示燈泡的壽命)可知R.V.X的分布律， 就是總體壽命的分布，反之亦然。 常稱(chēng)總體X，若R.VX～F([pic])，有時(shí)也用F([pic])表示一個(gè)總體。 (3)我們對(duì)每一個(gè)研究對(duì)象可能要觀測(cè)兩個(gè)或多個(gè)數(shù)量指標(biāo)，則可用多維隨機(jī)向量（X,Y ,Z, …）去描述總體。 2.總體的分類(lèi) 有限總體 無(wú)限總體 三．簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 1.定義6.1 ：從總體中抽得的一部分個(gè)體組成的集合稱(chēng)為子樣（樣本），取得的個(gè)體叫樣品，樣 本中樣品的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量（也叫樣本量）。每個(gè)樣品的測(cè)試值叫觀察值。 取得子樣的過(guò)程叫抽樣。 樣本的雙重含義： (1)隨機(jī)性： 用([pic]X[pic]，X[pic],……X[pic]) n維隨機(jī)向量表示。 X[pic]表示第i個(gè)被抽到的個(gè)體，是隨機(jī)變量。（i=1,2,…n） (2)確定性： ([pic][pic],[pic][pic],……[pic][pic])表示n個(gè)實(shí)數(shù)，即是每個(gè)樣品X[pic]觀測(cè)值[pic] [pic](i=1,2,…n)。 2.定義6.2： 設(shè)總體為X，若X[pic],X[pic]……X[pic]相互獨(dú)立且與X同分布，則稱(chēng)（X[pic],X[pic] …X[pic]）為來(lái)自總體X的容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（簡(jiǎn)稱(chēng)樣本）。 3.已知總體的分布寫(xiě)出子樣的分布 (1)已知總體X～F([pic]),則樣品X[pic]～[pic]F([pic][pic]) i=1,2…n樣本（X[pic],X[pic]…X[pic]）的聯(lián)合分布為： F([pic][pic],[pic][pic]…[pic][pic])=P(X[pic][pic][pic][pic],X[pic][pic][pic] …X[pic][pic][pic]) =[pic]P(X[pic][pic][pic]) =[pic]F([pic][pic]) 若總體X～f([pic]),樣品X[pic]～f([pic][pic]) i=1,2……n 樣本（X[pic],X[pic]……X[pic]）的聯(lián)合密度是 ： f([pic][pic],[pic][pic]……[pic][pic])=[pic]f([pic][pic]) 例:總體X～N([pic]，寫(xiě)出該總體樣本（X[pic],X[pic]…X[pic]）的 聯(lián)合密度。 (2)若總體X是離散型隨機(jī)變量，一般給出分布律： P(X=[pic]k) = pk. k=1,2…… 要寫(xiě)出概率函數(shù)f([pic])即f([pic])=P(X=[pic]k)=[pic] [pic]=1,2….., [pic] 例: 總體X～((()寫(xiě)出該總體樣本(X1,X2,…Xn)的聯(lián)合概率函數(shù) 例：總體X～B(1,p)， 0(p(1寫(xiě)出其樣本 （X[pic],X[pic],……X[pic]）的聯(lián)合概率函數(shù)。 四 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與直方圖 1.樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) (1)定義：設(shè)([pic]1, [pic]2,…[pic]n)是來(lái)自總體X的一組樣本值。將它們按由小到大排序?yàn)椋?[pic]1(([pic]2((…([pic]i((…([pic]n( 對(duì)任意的實(shí)數(shù)[pic]， 定義函數(shù)： Fn( (x)=[pic][pic] [pic] 則稱(chēng)F[pic]([pic])為總體X的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。 2) 格列文科定理: 設(shè)總體X的分布函數(shù)、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)分別為F([pic])、Fn(([pic]),則有： P[pic]=1 上式表明，當(dāng)[pic] ，概率為1的有F[pic]均勻地趨于F([pic])。 2總體的概率密度的估計(jì)(直方圖 （第一版） [p143 例6.3] 可以用SAS下的interactive data analysis 模塊演示。 五 統(tǒng)計(jì)量與樣本的數(shù)字特征 1 定義6.3: 設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的容量為n的樣本，g([pic]1, [pic]2,…, [pic]n)是定義在Rn或Rn子集上的普通函數(shù)。如果g中不含有任何未知量，則稱(chēng)g(X1,X2, …,Xn)為統(tǒng)計(jì)量。 2.常用的統(tǒng)計(jì)量（樣本的數(shù)字特征） 定義6.4：設(shè)X1,X2,…,Xn是來(lái)自總體X的樣本，則稱(chēng) [pic] 為樣本均值[pic][pic] 為樣本方差 [pic] 為樣本k階原點(diǎn)矩 [pic] 為樣本k階中心矩 3.重要性質(zhì) 定理6.1：設(shè)總體X不論服從什么分布，只要其二階矩存在，即E(X)=μ、D(X)=б2都存在， 則： (1) E([pic])=E(X)=μ (2) D([pic] )=[pic]D(X)=[pic] (3) E(S2)=D(X)=б2 重要恒等式:[pic] §6.2 抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。 一. 三個(gè)重要分布 (一)[pic]分布 1. 定義6.5：設(shè)X1，X2，…Xn相互獨(dú)立，均服從N(0,1)，則稱(chēng)隨機(jī)變量[pic]服從自由度為 n的[pic]分布，記為[pic]，即：[pic]。 2.定理3.8：[pic]的概率密度為 [pic] 其中[pic] 定理的說(shuō)明見(jiàn)P146頁(yè)。 3.圖形. 分布函數(shù)圖： data Kf; do x=0 to 30 by 0.1; y= PROBCHI(x, 8); output; end; run; proc gplot data=kf; plot y*x=1 ; symbol1 v=none i=join r=1 c=black; run; 密度函數(shù)圖：n=1,5,15 data kf; do y=0 to 20 by 0.1; z0=(y**(-0.5)*exp(-y/2))/(2**0.5* GAMMA(0.5)); z1=(y**(1.5)*exp(-y/2))/(2**2.5* GAMMA(2.5)); z2=(y**(6.5)*exp(-y/2))/(2**7.5* GAMMA(7.5)); output; end; run; proc gplot data=kf; plot z0*y=1 z1*y=1 z2*y=1 /overlay ; symbol1 v=none i=join r=1 c=black; run; 求概率： 自由度為n=25, P{X45時(shí), [pic], tα(n)=uα 。 注意：T～t(n)的密度是偶函數(shù)。 稱(chēng)滿(mǎn)足[pic]正數(shù)[pic]為分布的雙側(cè)[pic]分位數(shù)。 易知: [pic]查表可得,且 [pic] 同樣標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有: [pic] 。 例：n=20的t分布，求其0.1的上分位數(shù)，有 data ; q=TINV(1-0.1,5); put q=; q=TINV(1-0.1,10); put q=; q=TINV(1-0.1,20); put q=; q=TINV(1-0.1,50); put q=; q=TINV(1-0.1,100); put q=; q=TINV(1-0.1,200); put q=; qnorm=(probit(1-0.1));put qnorm=; run; q=1.4758840488 q=1.3721836411 q=1.325340707 q=1.2987136942 q=1.2900747613 q=1.285798794 qnorm=1.2815515655 對(duì)于概率：我們看一下當(dāng)n很大時(shí)，t(n)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的近似性。 data; prob_t=PROBT(1.3, 5); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 10); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 20); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 50); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 100); put prob_t=; prob_t=PROBT(1.3, 200); put prob_t=; Prob_n=PROBNORM(1.3);put Prob_n=; Run; (3)若F～F(m ,n) 稱(chēng)滿(mǎn)足P{F>Fα(m,n)}=[pic]的數(shù)Fα(m,n)為F分布的上[pic]分位數(shù)。 查表：①表中有的[pic]可直接查表P250 ②表中沒(méi)有的[pic] [pic] 三.正態(tài)總體的[pic]、S2的分布 定理6.2：(費(fèi)歇(Fisher)定理) 設(shè)總體X～N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn為來(lái)自總體X的樣本，其樣本均值和樣本方差分別記為[pic] 和S2。 則有(1)[pic]與S2相互獨(dú)立。 (2)[pic] (3)[pic] 證明見(jiàn)書(shū)P150 推論1：[pic] 例：總體[pic]，問(wèn)[pic]與[pic]是否獨(dú)立？ 又問(wèn)[pic]+[pic]服從什麼分布？ 推論2：[pic] 定理6.3：設(shè)有兩個(gè)總體: [pic],其樣本為X1,X2,… ,Xn，樣本均值[pic]，樣本方差[pic]總體[pic],其樣本為[pic],樣本均值為[pic],樣本 方差為[pic],且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.則有： (1) [pic] (2) [pic] (3) [pic] 特別當(dāng)[pic]時(shí)， [pic] (4)當(dāng)[pic]時(shí)， [pic]， 其中 [pic] 例：設(shè)總體[pic]，[pic]為來(lái)自總體的樣本。令[pic]， 試確定[pic]使[pic]服從[pic]分布，并指出其自由度。 本章習(xí)題：1~8 附加： 設(shè)總體X服從貝努里b(1,p)分布，其中p是未知參數(shù)。X=(X1,…X5)是從中抽取的一簡(jiǎn)單隨 機(jī)子樣。寫(xiě)出它的子樣空間和X的概率分布；
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